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CAE工程師必學(xué)：斷裂力學(xué)的一些知識(shí)點(diǎn)

有限元： 2021-06-16 16:13:00 閱讀數(shù)： 4241 分享到：
斷裂力學(xué)是近幾十年才發(fā)展起來(lái)了的一門(mén)新興學(xué)科，主要研究承載體由于含有一條主裂紋發(fā)生擴(kuò)展（包括靜載及疲勞載荷下的擴(kuò)展）而產(chǎn)生失效的條件。斷裂力學(xué)應(yīng)用于各種復(fù)雜結(jié)構(gòu)的分析，并從裂紋起裂、擴(kuò)展到失穩(wěn)過(guò)程都在其分析范圍內(nèi)。由于它與材料或結(jié)構(gòu)的安全問(wèn)題直接相關(guān)，因此它雖然起步晚，但實(shí)驗(yàn)與理論均發(fā)展迅速，并在工程上得到了廣泛應(yīng)用。斷裂力學(xué)研究的方法是：從彈性力學(xué)方程或彈塑性力學(xué)方程出發(fā)，把裂紋作為一種邊界條件，考察裂紋頂端的應(yīng)力場(chǎng)、應(yīng)變場(chǎng)和位移場(chǎng)，設(shè)法建立這些場(chǎng)與控制斷裂的物理參量的關(guān)系和裂紋尖端附近的局部斷裂條件。

國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究現(xiàn)狀
目前，斷裂力學(xué)總的研究趨勢(shì)是：從線(xiàn)彈性到彈塑性；從靜態(tài)斷裂到動(dòng)態(tài)斷裂；從宏觀微觀分離到宏觀與微觀結(jié)合；從確定性方法到概率統(tǒng)計(jì)性方法。所以就斷裂力學(xué)本身而言，根據(jù)研究的具體內(nèi)容和范圍，它又被分為宏觀斷裂力學(xué)（工程斷裂力學(xué)）和微觀斷裂力學(xué)（屬金屬物理范疇）。宏觀斷裂力學(xué)又可分為彈性斷裂力學(xué)（它包括線(xiàn)性彈性斷裂力學(xué)和非線(xiàn)性彈性斷裂力學(xué)）和彈塑性斷裂力學(xué)（包括小范圍屈服斷裂力學(xué)和大范圍屈服斷裂力學(xué)及全面屈服斷裂力學(xué)）。工程斷裂力學(xué)還包括疲勞斷裂、蠕變斷裂、腐蝕斷裂、腐蝕疲勞斷裂及蠕變疲勞斷裂等工程中重要方面。如今在斷裂力學(xué)研究方法中，又引入可靠性理論，稱(chēng)為概率斷裂力學(xué)，使斷裂力學(xué)的研究?jī)?nèi)容更加豐富，也使斷裂力學(xué)的理論得到進(jìn)一步的發(fā)展和完善，并在工程實(shí)際中發(fā)揮出越來(lái)越大的指導(dǎo)作用。

1. 格里菲斯理論

為研究材料內(nèi)部含有裂紋對(duì)材料強(qiáng)度有多大影響，上世紀(jì)20年代的格里菲斯首先研究了含裂紋的玻璃強(qiáng)度，并得出斷裂能量的關(guān)系：

這就是著名的格里菲斯斷裂判據(jù)，其中，G 為裂紋尖端能量釋放率，γs 是表面自由能（材料每形成單位裂紋面積所需能量）。由此關(guān)系可得格里菲斯裂紋應(yīng)力和裂紋尺寸關(guān)系：


式中，a為裂紋長(zhǎng)度。若G>2γs，裂紋將擴(kuò)展；若G<2γs，裂紋不會(huì)擴(kuò)展；若G=2γs，為極限狀態(tài)。又，若裂紋擴(kuò)展，且dG/da>0，可以確定為失穩(wěn)擴(kuò)展；若裂紋擴(kuò)展，且dG/da<0，則裂紋止裂。

2. 應(yīng)力強(qiáng)度因子K

裂紋頂端區(qū)域彈性應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)度因子的簡(jiǎn)稱(chēng)，是線(xiàn)彈性力學(xué)中反映裂紋頂端區(qū)域彈性應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)弱的力學(xué)參數(shù)，以符號(hào)KI 表示。對(duì)裂紋頂端附近區(qū)域應(yīng)力場(chǎng)的研究可知：靠近裂紋頂端的應(yīng)力，在趨近于裂紋頂端處，其數(shù)值以某種方式趨向于無(wú)窮大，即具有奇異性。因此，不能用此處應(yīng)力來(lái)衡量其強(qiáng)度。而KI 值能反映裂紋頂端區(qū)域彈性應(yīng)力場(chǎng)的強(qiáng)度，它的數(shù)值大小與所受荷載的大小、裂紋尺寸及幾何形狀有關(guān)，格里菲斯裂紋的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中，σ 為應(yīng)力，a 為裂紋長(zhǎng)度，按裂紋擴(kuò)展的三種形式有KI、KII、KIII，分別表示 I 型，II 型和 III 型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子。其中，對(duì)于 I 性裂紋：

式中，E 為平面應(yīng)力。

注：應(yīng)力強(qiáng)度因子適用于裂紋尖端塑性區(qū)比 K 場(chǎng)區(qū)小幾倍，也比裂紋長(zhǎng)度小幾倍，如韌性材料。

3. J積分

1968年由賴(lài)斯 (J．R．Rice) 提出。它反映裂紋頂端由于大范圍屈服而產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變集中程度。J積分的定義是：

用于研究平面問(wèn)題,它代表與裂紋擴(kuò)展有關(guān)的能量。式中右側(cè)第一項(xiàng)是與應(yīng)變能有關(guān)的能量，其中，W 是應(yīng)變能的密度（即單位體積應(yīng)變能）。在彈塑性情況下，為單調(diào)加載過(guò)程中試件各處體元所接受的應(yīng)力變形功密度（包括彈性應(yīng)變能和塑性變形功）。第二項(xiàng)是ds 上面力分量；ds 是路徑Γ 上的弧元。

J積分有以下各性質(zhì)：

  • J積分與路徑無(wú)關(guān)；

  • J積分能決定裂紋頂端彈塑性應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)；

  • J積分與形變功功率有如下關(guān)系：
式中，B 為試件厚度，U 為試件的形變功，▽為給定位稱(chēng)。上式是 J 積分得以實(shí)驗(yàn)測(cè)定的基礎(chǔ)。

4. 阻力曲線(xiàn)

斷裂力學(xué)中表示裂紋在材料中發(fā)生穩(wěn)定擴(kuò)展行為的曲線(xiàn)（下圖所示）?？v坐標(biāo)為裂紋擴(kuò)展的阻力，用 J 積分、CTOD的δ 或應(yīng)力強(qiáng)度因子K 表示，橫坐標(biāo)為裂紋擴(kuò)展量△a。裂紋未擴(kuò)展時(shí)曲線(xiàn)與縱軸重合，一旦擴(kuò)展則△a≠0，曲線(xiàn)便偏離縱軸，拐點(diǎn)即為起裂點(diǎn)。再后面表示穩(wěn)定擴(kuò)展過(guò)程。當(dāng)曲線(xiàn)上某點(diǎn)的切線(xiàn)能通過(guò)水平負(fù)軸上表示裂紋長(zhǎng)度的點(diǎn)時(shí)，表示將發(fā)生失穩(wěn)擴(kuò)展。失穩(wěn)時(shí)裂紋擴(kuò)展推動(dòng)力與裂紋擴(kuò)展阻力隨裂紋尺寸的變化率相同，不需加載裂紋即會(huì)自行快速擴(kuò)展而斷裂。阻力曲線(xiàn)可以用試樣測(cè)試，可用于確定起裂值（δi 或JIC）或條件起裂值（δ0.005或J0.005等），也可用以預(yù)測(cè)構(gòu)件中裂紋發(fā)生亞臨界擴(kuò)展的過(guò)程。

5. 數(shù)值計(jì)算方法

隨著斷裂力學(xué)研究的日益深入，需要求解的問(wèn)題日趨復(fù)雜化和多樣化，使得如何建立高效、高精度的計(jì)算方法成為學(xué)者們研究的熱點(diǎn)。由于計(jì)算機(jī)科學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)和力學(xué)等學(xué)科的不斷發(fā)展，用于解決斷裂力學(xué)問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法不斷涌現(xiàn)，從早期的有限差分法、有限元法、邊界元法到現(xiàn)在的無(wú)網(wǎng)格法、數(shù)值流形法、小波數(shù)值法、非連續(xù)變形分析等，它們正成為推動(dòng)斷裂力學(xué)研究不斷發(fā)展的重要工具。

有限元法：


在有限元解的情況下，通過(guò)應(yīng)力恢復(fù)、誤差估計(jì)和新網(wǎng)格自動(dòng)劃分，進(jìn)而再進(jìn)行有限元求解，重復(fù)這一過(guò)程直至得到滿(mǎn)意的有限元解。另外，隨機(jī)分析是斷裂力學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要方向，也是結(jié)構(gòu)可靠性評(píng)估的基礎(chǔ)。隨機(jī)有限元法在有限元法的基礎(chǔ)上，采用隨機(jī)參數(shù)來(lái)描述工程實(shí)際問(wèn)題，主要研究?jī)?nèi)容包括隨機(jī)變分原理、隨機(jī)有限元控制方程的建立及其求解。

邊界元法：


這是繼有限元法之后發(fā)展起來(lái)的一種求解力學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法。其構(gòu)成包含如下三個(gè)主要部分：

  • 基本解的特性及其應(yīng)用；

  • 離散化和邊界單元的選??；

  • 疊加法與求解技術(shù)。

這種方法的優(yōu)點(diǎn)是應(yīng)用Guass定理使問(wèn)題降階，將三維問(wèn)題化為二維問(wèn)題，將二維問(wèn)題化為一維問(wèn)題，使數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備大為簡(jiǎn)化，網(wǎng)格的劃分和重新調(diào)整更為方便，最后形成的代數(shù)方程組的規(guī)模也小得多。

無(wú)網(wǎng)格法：


也叫無(wú)單元法。該方法將整個(gè)求解域離散為獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)，而無(wú)須將節(jié)點(diǎn)連成單元，它不需要?jiǎng)澐志W(wǎng)格，從而克服了有限元法在計(jì)算過(guò)程中要不斷更新網(wǎng)格的缺陷。計(jì)算過(guò)程中可以實(shí)時(shí)跟蹤裂紋尖端區(qū)域進(jìn)行局部細(xì)化，將連續(xù)的裂紋擴(kuò)展過(guò)程看作多個(gè)線(xiàn)性增量，每一個(gè)增量?jī)?nèi)裂紋擴(kuò)展角根據(jù)應(yīng)力強(qiáng)度因子確定。通過(guò)在裂紋尖端細(xì)化節(jié)點(diǎn)引入外部基函數(shù)提高計(jì)算精度。

數(shù)值流形法：


該方法的基本思想是將微分幾何的流形原理引入材料分析，以拓?fù)淞餍闻c微分流形為基礎(chǔ)，同時(shí)吸收有限元中插值函數(shù)構(gòu)造方法與非連續(xù)變形分析中塊體運(yùn)動(dòng)學(xué)理論兩方面的優(yōu)勢(shì)，把連續(xù)和非連續(xù)變形力學(xué)問(wèn)題統(tǒng)一起來(lái)。

小波數(shù)值法：


該方法利用了小波具有的良好局部化特性，用小波函數(shù)對(duì)位移場(chǎng)進(jìn)行逼近，建立了小波數(shù)值計(jì)算格式，模擬了裂紋尖端的奇異性問(wèn)題并求解出裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

存在的問(wèn)題及技術(shù)關(guān)鍵
上述方法或理論均源于格里菲斯的斷裂理論，是建立在奇異性基礎(chǔ)上的，即均基于裂紋頂端應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)闊o(wú)限大的模式展開(kāi)的。Inglis數(shù)學(xué)尖裂紋模型的彈性力學(xué)解釋斷裂理論的基礎(chǔ)，這種數(shù)學(xué)尖裂紋上下表面間距為零，裂紋頂端曲率半徑也為零，因而有彈性力學(xué)求出的應(yīng)力分量在裂紋頂端處為無(wú)限大，這種現(xiàn)象稱(chēng)為奇異性。

奇異性理論一直延續(xù)至今，但奇異性斷裂力學(xué)在物理上存在本質(zhì)的缺陷，這主要表現(xiàn)在兩方面：

  • 其一，在實(shí)際中發(fā)現(xiàn)的裂紋其上下表面間距和裂紋頂端曲率半徑都是有限值，且不等于零；

  • 其二，實(shí)際裂紋，即使在裂紋頂端，應(yīng)力與應(yīng)變均為有限值，不存在所謂的應(yīng)力與應(yīng)變的奇異性。

這樣，基于數(shù)學(xué)尖裂紋和應(yīng)力奇異性的物理量缺乏堅(jiān)實(shí)的物理基礎(chǔ)。為了完善理論，呈現(xiàn)非奇異性，可以采用比較符合真實(shí)情形的半圓形頂端的鈍裂紋（或切口）模型，但鈍裂紋的曲率半徑的測(cè)量需要用金相的方法測(cè)出，這就需要金相斷裂力學(xué)的發(fā)展。


未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)
彈塑性斷裂力學(xué)雖取得了一些進(jìn)展，但仍有許多尚待深入研究的問(wèn)題，它是當(dāng)前斷裂力學(xué)的主要研究方向之一。斷裂動(dòng)力學(xué)，對(duì)于線(xiàn)性材料還有待完善；對(duì)于非線(xiàn)性材料，尚處于研究初期，是斷裂力學(xué)的又一主要研究方向。隨著對(duì)斷裂問(wèn)題的深入研究及數(shù)學(xué)工具的方便使用，斷裂力學(xué)理論會(huì)日益成熟，斷裂力學(xué)應(yīng)用會(huì)日漸廣泛。

對(duì)于數(shù)值計(jì)算方法，其未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)為：跨尺度的斷裂力學(xué)數(shù)值計(jì)算方法、并行數(shù)值計(jì)算方法、解析法與數(shù)值法的結(jié)合、多種計(jì)算方法的有機(jī)結(jié)合、數(shù)據(jù)處理自動(dòng)化。
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