材料力學筆記之——應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異

應(yīng)力集中

從以上的分析來看，應(yīng)力集中通常出現(xiàn)在構(gòu)件空間發(fā)生突變，空間曲率或梯度發(fā)生改變的位置；若過渡區(qū)域不光滑連續(xù)，則可能會出現(xiàn)應(yīng)力奇異。由此，構(gòu)件內(nèi)應(yīng)力集中現(xiàn)象與構(gòu)件空間的性質(zhì)相關(guān)，對于應(yīng)力集中的原因從“場”的觀點來解釋或許會更為恰當。力或應(yīng)力在空間中的傳遞過程中所形成的“場”與流體相似。在“傳遞”或“流經(jīng)”的路徑上，空間性質(zhì)的改變將會使其產(chǎn)生調(diào)整，并重新分布。目前尚未查閱到深入探討相關(guān)相似問題的文獻，但相信這可能會很有趣。如果將這種應(yīng)力集中的局部現(xiàn)象推廣到宇宙空間，會是什么樣的區(qū)域存在“應(yīng)力集中”呢？“應(yīng)力集中”區(qū)域會有哪些奇觀呢？

出現(xiàn)應(yīng)力集中的區(qū)域

通過研究得出：

• 材料夾雜與基體彈性模量的差異越大，產(chǎn)生的局部應(yīng)力集中也越大，氣孔導致的應(yīng)力集中大于硬夾雜；

  
  

• 多個夾雜存在時，相鄰的應(yīng)力場會發(fā)生耦合強化作用，強化效果與夾雜排列方向和加載方向有關(guān)；

  
  

• 在忽略夾雜的循環(huán)塑性條件下，循環(huán)應(yīng)力對氣孔周圍應(yīng)力集中影響較大，但對硬夾雜周圍應(yīng)力集中影響很??；

  
  

• 氣孔非常靠近表面時，應(yīng)力水平越高，應(yīng)力應(yīng)變集中系數(shù)Kg越大，裂紋容易在表面萌生。氣孔的位置較深時，應(yīng)力水平越低，Kg越大，裂紋容易在內(nèi)部夾雜處萌生。

應(yīng)力集中的影響

對于脆性材料，應(yīng)力集中處的應(yīng)力達到比例極限后材料開始破壞。通常裂紋是在應(yīng)力集中處形成，然后更大的應(yīng)力集中將產(chǎn)生于裂紋尖端處，這反過來引起裂紋在該截面的進一步擴展，導致材料的突然斷裂。

對于塑性材料，并承受靜態(tài)載荷時，細小的幾何缺陷、劃痕、小圓角等不需要過于擔心，設(shè)計者通常忽略應(yīng)力集中系數(shù)的影響。因為此時應(yīng)力超過材料比例極限并不會導致裂紋產(chǎn)生。反而，由于屈服和應(yīng)變強化的影響，材料還有進一步承載的能力。但在動載荷或交變載荷作用下，應(yīng)力集中部位是疲勞裂紋的重要發(fā)源地，降低構(gòu)件的疲勞壽命。

1. 圓角

軸的圓角半徑r 與疲勞極限σ-1 之間的關(guān)系是：隨著圓角半徑r 減小，直徑d 增大，疲勞缺口應(yīng)力集中系數(shù)急劇增大；反之則反。據(jù)我國某拖拉機廠統(tǒng)計分析了180根曲軸的疲勞斷裂案例，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)斷裂時有與大修時軸徑磨削使軸徑的圓角半徑小于設(shè)計規(guī)定 (r=6) 所致，其中圓角r=1.5~3的斷軸率為70.8%，r=3~4的占18%，r=4~5的占4%[14]。

2. 縱向溝槽

如鍵槽和花鍵等軸上的縱向溝槽，是承受扭轉(zhuǎn)應(yīng)力軸件的常見失效發(fā)源地。這類失效大多數(shù)發(fā)生在尖角處，因為應(yīng)力集中而萌生小裂紋造成疲勞斷裂。分析表明，鍵槽尖角引起的局部應(yīng)力可達到平均額定應(yīng)力的十倍。

3. 孔

軸類零件開一橫孔后，孔內(nèi)側(cè)的理論應(yīng)力集中系數(shù)Kt 隨著d/D 比值的上升而距離增大(d，橫孔直徑；D 為軸向直徑)。

4. 受內(nèi)壓殼體開孔接管處的應(yīng)力集中

壓力容器接管處的應(yīng)力集中較小孔嚴重的多，應(yīng)力集中系數(shù)可達到3~6，但其應(yīng)力衰減迅速，具有明顯的局部性，不會使殼體引起任何顯著的變形，故可以允許應(yīng)力峰值超過材料的平均屈服應(yīng)力。

5. 橢圓孔

橢圓孔無限大板，在其均勻應(yīng)力垂直于橢圓長軸的情況下，最大應(yīng)力發(fā)生在橢圓孔的長軸端點處，應(yīng)力集中系數(shù)為Kt=1+2a/b。

6. V型缺口尖端ρ→0時

形成一個尖銳缺口，在拉伸應(yīng)力作用下，缺口尖端的應(yīng)力趨于無限大，將出現(xiàn)所謂的奇異性。缺口尖端局部區(qū)應(yīng)力可以表示為：σij∝r -1+λ；λ 為奇異指數(shù)，λ 與V 形缺口角β 有關(guān)，當β=180°時，λ=1，無缺口情況；當β＜180°時，λ 總小于1，當r →0時，缺口尖端應(yīng)力具有奇異性；β=0.5時，缺口轉(zhuǎn)化為裂紋，λ=0.5時，即裂紋尖端的應(yīng)力奇異指數(shù)為0.5。

7. 重復缺口

重復缺口效應(yīng)是指，兩個或兩個以上的應(yīng)力集中因素互相重疊而使應(yīng)力集中進一步加劇的現(xiàn)象，如圖1所示。如果應(yīng)力集中因素Ⅱ的作用遠小于應(yīng)力集中因素Ⅰ的作用，則二重應(yīng)力集中因素KⅠ,Ⅱ=KⅠKⅡ；如果應(yīng)力集中因素Ⅱ的作用遠超過應(yīng)力集中系數(shù)Ⅰ，則缺口效應(yīng)主要取決于應(yīng)力集中因素Ⅱ。

圖1 重復應(yīng)力集中

8. 熔焊接頭

在熔焊接頭中，焊縫與母材的過渡處（焊趾）產(chǎn)生應(yīng)力集中。焊趾是焊接接口中的典型缺口，其缺口應(yīng)力可以分解為平均應(yīng)力σm、彎曲應(yīng)力σb 和非線性應(yīng)力σp。對接接頭應(yīng)力集中系數(shù)的大小，主要取決于焊縫余高和焊縫向母材的過渡圓弧半徑及夾角，增加余高和減小過渡圓弧半徑，都會使應(yīng)力集中系數(shù)增加。T形（十字）焊接接頭焊縫向母材過渡較急劇，其工作應(yīng)力分布極不均勻，在角焊縫的根部和焊趾都存在嚴重的應(yīng)力集中。

搭接焊縫在只有正面焊縫的搭接接頭中，工作應(yīng)力分布極不均勻，在角焊縫根部和焊趾處都有嚴重的應(yīng)力集中。在用側(cè)面焊縫聯(lián)接的搭接接頭中，其工作應(yīng)力更為復雜。各種焊接接頭焊后都存在不同程度的應(yīng)力集中，應(yīng)力集中對接頭強度的影響與材料性能、載荷類型和環(huán)境條件等因素有關(guān)。如果接頭所用材料有良好的塑性，接頭破壞前有顯著的塑性變形，使得應(yīng)力在加載過程中發(fā)生均勻化，則應(yīng)力集中對接頭的靜強度不會產(chǎn)生影響。

點焊焊接接頭應(yīng)力集中程度比電弧焊搭接接頭的應(yīng)力集中程度嚴重，點焊接頭承受載荷時，其焊點周圍產(chǎn)生不同程度的應(yīng)力集中，點焊接頭的抗拉強度明顯低于抗剪強度，所以在一般使用中，應(yīng)盡量避免點焊接頭承受圖2所示載荷。焊接節(jié)點部位由于傳力方向改變產(chǎn)生復雜的結(jié)構(gòu)應(yīng)力，結(jié)構(gòu)應(yīng)力與節(jié)點焊縫的應(yīng)力集中互相疊加。焊接節(jié)點的應(yīng)力集中分析是焊接結(jié)構(gòu)強度設(shè)計中需要考慮的重要因素，焊接缺陷是焊接結(jié)構(gòu)中最嚴重的不完整性，對焊接結(jié)構(gòu)承載能力有顯著的影響，并在缺陷周圍產(chǎn)生應(yīng)力集中。

圖2 點焊承受的載荷及應(yīng)力分布

應(yīng)力集中與圣維南原理

圣維南原理所描述的局部效應(yīng)與應(yīng)力集中存集聚之處，都是應(yīng)力、應(yīng)變的局部效應(yīng)，但也有所區(qū)別。圣維南原理主要描述的是邊界條件等效所引起的局部應(yīng)力，應(yīng)變誤差的影響問題；而應(yīng)力集中則主要探討構(gòu)件空間突變所引起的應(yīng)力集中問題。圣維南原理是在計算求解力學問題時的一個邊界簡化假設(shè)依據(jù)，且描述相對模糊；而應(yīng)力集中則是力學求解的一種結(jié)果，且應(yīng)力集中的局部特性可以進行量化描述。

關(guān)于矩形板、圓形開孔的孔邊應(yīng)力集成程度與距離圓孔中心遠近的關(guān)系，即一矩形薄板，在離開邊界較遠處有半徑為a 的小圓孔，左右兩側(cè)受局部拉力，集度（內(nèi)應(yīng)力）為q，通過分析得出，應(yīng)力在孔邊 (ρ=a) 是無孔時的3倍；ρ=2a 時為1.22q；ρ=3a 時為1.07q；ρ=4a 時為1.04q。

圖3 帶圓孔矩形薄板應(yīng)力集中問題

應(yīng)力集中系數(shù)

1. 拉伸應(yīng)力集中系數(shù)

理論應(yīng)力集中因素等于應(yīng)力集中處的最大應(yīng)力σmax 與該界面的平均應(yīng)力σnom 的比，即K=σmax/σnom。其中，σnom=FN/A，A 是考慮截面削弱后的橫截面面積，稱為凈面積；有時平均應(yīng)力的計算可以不考慮截面的削弱。理論應(yīng)力集中系數(shù)K 始終大于1。對于板寬超過孔徑4倍的板條，理論應(yīng)力集中因素K≈3。

2. 扭轉(zhuǎn)應(yīng)力集中

在工程上為了避免在軸尺寸不連續(xù)處進行復雜的應(yīng)力分析，最大切應(yīng)力通?？筛鶕?jù)特定的幾何結(jié)構(gòu)由一扭轉(zhuǎn)應(yīng)力集中系數(shù)K 確定，τmax=KTc/J。T 是截面上的合力矩，J 是截面極慣性矩，c 是軸的外半徑。

3. 彎曲應(yīng)力集中系數(shù)

σmax=KMc/I，K 是應(yīng)力集中系數(shù)；M 是關(guān)于橫截面中性軸的合內(nèi)力偶矩，I 是橫截面關(guān)于中心軸的慣性矩，c 是梁外表面到中性軸的垂直距離。

應(yīng)力集中系數(shù)是基于靜態(tài)加載給出的，并假設(shè)材料內(nèi)部應(yīng)力不能超過其本身的比例極限，材料是各向同性且均勻的。局部最大應(yīng)力可以用彈性力學解析法、光彈法或有限元法求得，從而得到各種幾何形狀的試樣在各種載荷下的理論應(yīng)力集中系數(shù)。常見構(gòu)件形狀的應(yīng)力集中系數(shù)曲線，可查閱機械設(shè)計手冊[9]，但需要注意的是，不同的載荷和截面形式所對應(yīng)的應(yīng)力集中系數(shù)是不同的。

應(yīng)力集中有限元求解的網(wǎng)格劃分

有限元分析建模，網(wǎng)格劃分時，對于不同部位的單元可以采用不同的大小，也應(yīng)當采用不同的大小。對于邊界比較曲折的部位是應(yīng)力和位移變化的比較劇烈的部位，單元必須小一些；在邊界比較平直的部位、次要部位以及應(yīng)力和位移變化比較平緩的部位，單元可以大一些。當結(jié)構(gòu)存在凹槽或孔洞時，在凹槽或孔洞附近將發(fā)生應(yīng)力集中，即該處的應(yīng)力較大且變化劇烈，必須把該處的網(wǎng)格劃得較為緊密，以便更為貼切的描述此處的應(yīng)力和應(yīng)變的變化。對此，一般有兩種方法：

由于應(yīng)力集中區(qū)域的應(yīng)力在結(jié)構(gòu)強度分析中的重要性。因此，獲得精準、穩(wěn)定、可靠的解至關(guān)重要。在有限元分析中，則是要消除離散誤差，獲得網(wǎng)格無關(guān)解。離散誤差的大小同離散方程的截斷段誤差有關(guān)。在相同的網(wǎng)格步長下，一般來說隨著截斷誤差階數(shù)提高，離散誤差會逐漸減小。

對于同一離散格式，網(wǎng)格加密，離散誤差也會減小。在實際計算中，應(yīng)使得網(wǎng)格細密到即使再進一步細化網(wǎng)格，在工程允許的誤差范圍內(nèi)數(shù)據(jù)值解也幾乎不再發(fā)生變化，此時的解則認為是網(wǎng)格無關(guān)解。目前大多數(shù)有限元軟件都是采用“位移法”進行求解，其中通過虛功原理和最小作用原理，最先求解的未知量就是位移。因而，若在隨著網(wǎng)格逐步精細化的過程中，位移結(jié)果收斂于一個有限值，而應(yīng)力則是發(fā)散的，出現(xiàn)此類情況也可以判斷此處出現(xiàn)了應(yīng)力奇異。

應(yīng)力集中的預防與利用

下面是在結(jié)構(gòu)設(shè)計中，避免應(yīng)力集中的一些基本措施：

• 避免零件兩交接部位的截面尺寸相差太大；

  
  

• 增大零件上過渡曲線的曲率半徑，比如加大軸徑變化處的圓角半徑；

  
  

• 降低承受沖擊載荷零件的剛度；

  
  

• 加大壓配合部分軸的尺寸或開卸載槽；

  
  

• 焊接結(jié)構(gòu)件要避免將焊縫布置在應(yīng)力集中處，對于動載荷結(jié)構(gòu)尤應(yīng)注意。

  
  

• 合理設(shè)置筋板、肋板，分散或轉(zhuǎn)移應(yīng)力集中。

應(yīng)力集中雖然對于承載結(jié)構(gòu)來講存在不利影響，但正是由于應(yīng)力集中效應(yīng)，為一些功能的實現(xiàn)起到重要作用。比如，食品袋上的缺口，可以方便食用時撕開；易拉罐拉片周圍的壓痕所產(chǎn)生應(yīng)力集中，以方便開罐，等等。這些有效利用應(yīng)力集中效應(yīng)的實際案例，對于在使用中需要破壞和去除的結(jié)構(gòu)來講是有利的。

應(yīng)力奇異與判斷

根據(jù)彈性理論在結(jié)構(gòu)內(nèi)部尖角處，或說非光滑連續(xù)處的應(yīng)力是無限大。在使用有限元求解過程中，應(yīng)力奇異具有以下特點：

在有限元計算分析實踐中發(fā)現(xiàn)，應(yīng)力奇異的區(qū)域應(yīng)力集中系數(shù)較高，理論上是無限大，應(yīng)力集中度會很高，應(yīng)力衰減明顯。因此在分析中，首先需要關(guān)注的是結(jié)構(gòu)上那些不光滑連續(xù)的區(qū)域；其次，對不連續(xù)區(qū)域的鄰域進行劃分，并在網(wǎng)格細化，尋找網(wǎng)格無關(guān)解的過程，比較確認不同區(qū)域計算值的收斂程度。當不連續(xù)區(qū)域鄰域內(nèi)的解已趨于收斂，且滿足誤差要求，但不連續(xù)區(qū)域的解始終差異較大時，就可以確認該區(qū)域出現(xiàn)了應(yīng)力奇異。

應(yīng)力奇異處理

在遇到應(yīng)力奇異時，可以考慮采用以下方法進行處理：

• 細化模型。主要是在模型中添加細節(jié)特征（如倒角、過渡面等），再重新計算或者采用子模型法進行分析。

  
  

• 外插值法或路徑法。假設(shè)應(yīng)力奇異在該區(qū)域沒有發(fā)生用來推斷奇異點的應(yīng)力值，可使用應(yīng)力集中系數(shù)來計算真實應(yīng)力。

  
  

• 局部細化網(wǎng)格。在幾何尖角處，應(yīng)力解梯度大的區(qū)域網(wǎng)格應(yīng)細分，其他遠離的位置可以粗劃。如果遠離奇異點的解是收斂的，則粗糙網(wǎng)格也會較為準確的估計這部分的解，但對于接近奇異點的解是不可靠的。

  
  

• 將模型轉(zhuǎn)化為可借用理論公式計算的形式，并根據(jù)設(shè)計手冊查找該模型結(jié)構(gòu)及尺寸的應(yīng)力集中系數(shù)來預測真實應(yīng)力。

來源：產(chǎn)品設(shè)計研習社