有限元的未來是多物理場

一、數(shù)值計算概述

現(xiàn)代科學技術(shù)問題通常有三種研究方法：理論推導、科學實驗和科學計算?？茖W技術(shù)可以幫助科學家揭示用物質(zhì)實驗手段尚不能表現(xiàn)的科學奧秘和科學規(guī)律，同時，它也是工程科學家的研究成果——理論、方法和科學數(shù)據(jù)的歸總，成為推動工程和社會進步的最新生產(chǎn)力。數(shù)值計算方法則是科學計算核心。

數(shù)值計算技術(shù)誕生于上個世紀五十年代初，Bruce, G. H.和 Peaceman, D. W.模擬了一維氣相不穩(wěn)定徑向和線形流。受當時計算機能力及解法限制，數(shù)值計算技術(shù)只是初步應用于求解一維問題。隨著計算機技術(shù)和計算方法的發(fā)展，復雜的工程問題也可以采用離散化的數(shù)值計算方法，并借助計算機得到滿足工程要求的數(shù)值解。

數(shù)值計算可理解為用計算機來做實驗，比如某一特定LED（發(fā)光二極管）工作過程中內(nèi)部電流密度、溫度及熱應力問題，通過計算并顯示其計算結(jié)果。我們可以看到LED內(nèi)部電流密度是否存在擁擠現(xiàn)象，內(nèi)部溫度分布的各個細節(jié)，以及由于溫度的變化引起的應力集中是否存在，它的位置、大小及其隨時間的變化等。

我們可以將數(shù)值計算分為以下幾個步驟：

首先要建立反映問題本質(zhì)的數(shù)學模型。具體說就是要建立反映問題中各物理量之間的偏微分方程及其相應的定解條件，這是數(shù)值計算的出發(fā)點。比如牛頓型流體流動的數(shù)學模型，就是著名的納維—斯托克斯方程及其相應的定解條件。

數(shù)學模型建立之后，接下來就是求解這個模型。需要尋求高效、高準確度的計算方法。求解科學問題就是求解偏微分方程。

在確定了計算方法后，就可以開始編制程序并進行計算。實踐表明這一部分工作是整個工作的主體，會占據(jù)整個工程的絕大部分時間。隨著軟件技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了應用于各領(lǐng)域的商業(yè)軟件，運用這些軟件使得這部分工作得到大大簡化，縮短了模擬過程的周期。這樣，科研人員能夠?qū)⒆约旱臅r間和精力更多的投入到自己研究的問題上，而不是編寫計算代碼。

通過上述描述，用數(shù)值計算方法解決科學計算問題的一般過程可以用如下流程來形象地描述：

實際問題→ 數(shù)學模型→ 計算方法→ 計算程序→ 計算機計算→ 結(jié)果分析

在計算工作完成后，需要處理大量的計算結(jié)果數(shù)據(jù)。計算結(jié)果的圖形后處理也是一項十分重要的工作，現(xiàn)在很多模擬工具已經(jīng)能將圖形編輯成連貫動畫進行播放。

數(shù)值計算具有很多優(yōu)點，但是它也有自己的局限性：

數(shù)值計算的結(jié)果是離散的，并且一定有誤差，這是數(shù)值計算方法區(qū)別于解析法的主要特征。因此，如何控制數(shù)值誤差，提高計算的精確度成為一款數(shù)值計算軟件追求的首要目標。

數(shù)值計算的穩(wěn)定性?？刂普`差的增長勢頭，保證計算過程穩(wěn)定是數(shù)值計算方法的核心任務之一。特別是非線性問題的計算，往往出現(xiàn)計算結(jié)果不收斂，甚至得不到計算結(jié)果。

計算規(guī)模依賴于計算機硬件的發(fā)展。以氣象研究為例，模擬1平方公里、1公里高度的一個區(qū)域，長寬高各自離散1000個網(wǎng)格，而耦合計算的基礎(chǔ)方程為5個，計算規(guī)模將達到1000G的自由度?，F(xiàn)在，全世界最快的千萬億次的超級計算機計算能力也僅僅達到1000G自由度。

多物理場耦合分析的局限性。人們針對各個科學和工程領(lǐng)域發(fā)展出各自的計算方法，并且開發(fā)出來相當多優(yōu)秀的數(shù)值計算軟件。但是，不同的算法、不同的軟件平臺下，多個物理場之間數(shù)據(jù)的傳輸將會遇到非常多的問題：數(shù)據(jù)存儲格式的差異帶來數(shù)據(jù)傳輸?shù)膩G失；不同軟件之間的算法不統(tǒng)一導致無法實現(xiàn)多個物理場實時的耦合；以及編寫接口軟件帶來的額外工作開銷等問題，都將極大的限制了多物理場耦合分析的應用范圍。

二、幾種常見數(shù)值計算方法

FDM

有限差分方法 (FDM) 是計算機數(shù)值模擬最早采用的方法，它將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點上的函數(shù)值的差商代替進行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學概念直觀，表達簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。

差分方法主要適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步長必須根據(jù)實際的情況和穩(wěn)定條件來決定。這限制了有限差分方法的應用范圍，有限差分方法通常在電磁場分析中應用較多。

FEM

有限元方法 (FEM) 的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，將偏微分方程中的變量改寫成，由各變量或其導數(shù)的節(jié)點值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。

有限元方法適用性強，它最早應用于結(jié)構(gòu)力學，后來隨著計算機的發(fā)展以及各個學科理論研究的深入，慢慢用于流體力學、電動力學、土力學、熱力學等等領(lǐng)域。

FVM

有限體積法 (FVM) 又稱為控制體積法，它將計算區(qū)域劃分為一系列不重復的控制體積，并使每個網(wǎng)格點周圍有一個控制體積；將待解的偏微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網(wǎng)格點之間的變化規(guī)律（既插值函數(shù)）。這限制有限體積法的應用范圍，有限體積法通常在流體分析中應用較多。

幾種方法比較分析

有限差分方法相對比較直觀，但是難以處理不規(guī)則區(qū)域，對區(qū)域的連續(xù)性等要求比較苛刻。使用有限差分方法的好處在于易于編程，易于并行計算。

有限元方法對偏微分方程的離散較容易，適合處理復雜區(qū)域，并且計算精度可靠。對于能使用偏微分方程描述的物理問題，都能使用有限元方法進行模擬。

有限體積法適于流體計算，可以應用于不規(guī)則網(wǎng)格，但由于有限體積法的截取誤差是不定的，它的精度基本上只能是二階。

因此，在實用性、適用性以及擴展性方面，有限元方法具有更大的優(yōu)勢，也是現(xiàn)在應用最為廣泛的一種數(shù)值計算方法。因此，有限元法在多物理場方面的應用有得天獨厚的優(yōu)勢，現(xiàn)在出現(xiàn)的優(yōu)秀的實用型多物理場耦合分析軟件大部分是基于有限元法實現(xiàn)的。

三、有限元的未來是多物理場耦合分析

早期的有限元主要關(guān)注于某個專業(yè)領(lǐng)域，比如應力或疲勞，這與當時計算機的計算能力相對應。但是，一般來說，物理現(xiàn)象都不是單獨存在的。例如，只要運動就會產(chǎn)生熱，而熱反過來又影響一些材料屬性，如電導率、化學反應速率、流體的粘性等等。這種物理系統(tǒng)的耦合就是我們所說的多物理場，分析起來比我們單獨去分析一個物理場要復雜得多。常見的耦合問題有流-固耦合、電-熱耦合、熱-結(jié)構(gòu)耦合、熱-電-結(jié)構(gòu)耦合、聲-結(jié)構(gòu)耦合、流體-反應耦合、流體-熱耦合等。使用基于單元庫的模擬軟件，對上述各種耦合問題進行模擬，必須推導出相對應的耦合方程，其難度將是巨大的。

物理系統(tǒng)中每增加一個耦合的物理場，意味著數(shù)值計算的時候增加一個或多個未知的物理變量，同樣的離散條件下，計算的自由度數(shù)將會擴大。在上個世紀90年代以前，由于計算機資源的缺乏，多物理場模擬僅僅停留在理論階段，有限元建模也局限于對單個物理場的模擬，最常見的也就是對力學、傳熱、流體以及電磁場的模擬?？雌饋碛邢拊抡娴拿\好像也就是對單個物理場的模擬。

現(xiàn)在這種情況已經(jīng)開始改變。經(jīng)過數(shù)十年的努力，計算科學的發(fā)展為我們提供了更靈巧、更簡潔而又更快速的算法，強勁的硬件配置，使得對多物理場的有限元模擬成為可能。新興的有限元方法為多物理場分析提供了一個新的機遇，滿足了工程師對真實物理系統(tǒng)的求解需要。

以流-固耦合來說，它是流體力學與固體力學兩者之間相互作用產(chǎn)生的，其研究對象是固體在流場作用下的各種行為，以及固體變形或運動對流場的影響。流-固耦合的重要特征是兩相介質(zhì)之間的相互作用：固體在流體動載荷的作用下產(chǎn)生變形或運動，而固體的變形或運動反過來又會影響到流場，從而改變流場的分布。

壓電擴音器 (Piezoacoustic transducer) 可以將電流轉(zhuǎn)換為聲學壓力場，或者反過來將聲場轉(zhuǎn)換為電場，這里涉及三個不同的物理場：結(jié)構(gòu)場、電場和流體中的聲場。這種裝置一般用在空氣或者液體中的聲源裝置上，比如相控陣麥克風、超聲生物成像儀、聲納傳感器和聲學生物治療儀等，也可用于一些機械裝置，比如噴墨機和壓電馬達等。

科學家已經(jīng)證明采用偏微分方程組 (PDEs) 的方法可以求解多物理場現(xiàn)象。這些偏微分方程可以描述熱量傳遞、電磁場和結(jié)構(gòu)力學等各種物理過程。可以這樣認定，多物理場的本質(zhì)是偏微分方程組。隨著計算機和計算技術(shù)的迅速發(fā)展，使得工程師可以輕松地用偏微分方程組描述現(xiàn)實中的多物理場問題。如果有一種算法或者軟件能直接對這些偏微分方程組進行求解，對科學研究與工程計算進程的推進將是巨大的。

而多物理場問題的求解，其難度也是巨大的。在實際求解多物理場耦合問題時，需要考慮不同的耦合關(guān)系。根據(jù)耦合的相互作用關(guān)系，可以把耦合關(guān)系分為雙向耦合和單向耦合。物理場A通過邊界條件或源項對物理場B產(chǎn)生作用，而物理場B對A不產(chǎn)生作用，或其影響可被忽略，稱這種耦合是單向耦合。比如在熱應力問題中，溫度場會產(chǎn)生明顯的熱應力，但是由于變形而導致的溫度場的性質(zhì)變化并不顯著，這種問題可以簡化為單向耦合問題。

如果物理場B也對A產(chǎn)生影響，則稱這種耦合為雙向耦合。比如電阻應變片上當電流改變時會產(chǎn)生熱量，熱量導致電阻率的改變，從而影響了電流的改變。

實際上，只要一個場對另外一個場發(fā)生作用，反作用也是必然要出現(xiàn)的。所以，使用間接耦合的方式求解多物理場問題，其出發(fā)點即存在誤差。

綜上所述，多物理場的計算，需要強大的計算機計算能力為后盾。計算機計算能力的提升使得有限元分析由單場分析到多場分析變成現(xiàn)實，未來的幾年內(nèi)，多物理場分析工具將會給學術(shù)界和工程界帶來震驚。單調(diào)的“設(shè)計－校驗”的設(shè)計方法將會慢慢被淘汰，虛擬造型技術(shù)將讓科學家們的思想走得更遠。

四、多物理場技術(shù)的應用及探討

綜上所述，利用基于單元庫的方法實現(xiàn)多物理場耦合計算，每增加一種耦合分析類型，必須推導出該耦合方程，其代價將是巨大的。隨著科學計算不斷發(fā)展，人們研究領(lǐng)域的不斷細化和深入，以及計算機計算能力的不斷提高，未來多物理場計算的發(fā)展趨勢可以歸結(jié)為以下幾點：

計算的功能得到更大的擴充。在同一個計算平臺下實現(xiàn)多個科學領(lǐng)域的計算，結(jié)構(gòu)力學、流體力學、電動力學、熱力學、量子力學等等問題，將會在一個統(tǒng)一的仿真分析平臺下完成。

多尺度耦合分析?，F(xiàn)代科學問題通常是一個完整的系統(tǒng)工程，研究的尺度范圍常常涉及到從米到微米甚至納米級別。例如，對于飛機機翼的研究，機翼結(jié)構(gòu)強度分析屬于米量級的分析，而構(gòu)成機翼的復合材料分子動力學模型則延伸到納米量級。

結(jié)構(gòu)、構(gòu)件及其材料的一體化設(shè)計計算與模擬仿真。系統(tǒng)級的數(shù)值模擬將會越來越多，材料庫的出現(xiàn)將會加速此進程。

實現(xiàn)真正的多物理場耦合計算。在同一個計算平臺下，實現(xiàn)真正的、實時的多物理場耦合分析，區(qū)別于不同計算算法、不同軟件數(shù)據(jù)互換造成極大的計算資源浪費。多物理場問題將不受算法或軟件的限制，對任意的物理場進行組合從而計算任意的多物理場問題。比如，在電阻應變片上當電流改變時會產(chǎn)生熱量，熱量導致電阻率的改變，從而影響了電流的改變。此時，研究人員需要考慮熱量改變而引起的應變問題，則在原有多物理場系統(tǒng)的基礎(chǔ)上加入結(jié)構(gòu)力學的因素。

基于網(wǎng)絡(luò)的分布式并行、大規(guī)模計算，以及CAD/CAE的集成化、網(wǎng)絡(luò)化、智能化。

來源：蒙茂洲科學網(wǎng)博客