【知識(shí)普及】有關(guān)有限元分析的那些基本認(rèn)識(shí)

 在有限元分析領(lǐng)域，大家似乎看到過(guò)很多縮寫，比如CAE、FEM、FE、CFD、FEA等等，但從英文全程來(lái)看其實(shí)他們區(qū)別不大。比如CAE，英文全稱是ComputerAidedEngineering，即計(jì)算機(jī)輔助工程；FEM，F(xiàn)initeElementMethod，即有限元方法；FEA，F(xiàn)initeElementAnalysis，有限元分析；CFD，ComputationalFluidDynamics，計(jì)算機(jī)流體動(dòng)力學(xué)?？梢钥闯觯薈FD強(qiáng)調(diào)流體以外，F(xiàn)EA、CAE、FEM其實(shí)都是一個(gè)范疇的，即有限元法相關(guān)，其實(shí)CFD也是他們的一個(gè)分支。為了統(tǒng)一，我們?nèi)EA為有限元分析的簡(jiǎn)稱。

 什么是FEA呢？我們來(lái)簡(jiǎn)單介紹一下。

 在數(shù)學(xué)上，有限元方法（FiniteElementMethod）是一種為偏微分方程的邊界值問(wèn)題尋找近似解的數(shù)值計(jì)算方法，既然是數(shù)值計(jì)算方法，所以是沒(méi)有精確解的。它將一個(gè)區(qū)域分成簡(jiǎn)單的小單元，這些小單元稱為有限元，并使用各種微積分的各種求解方法在最小誤差函數(shù)下求解問(wèn)題。類似于連接許多小段直線可以近似逼近一個(gè)圓一樣，有限元法綜合每個(gè)小單元的方程去近似逼近整個(gè)大范圍內(nèi)的方程域。

 離散化實(shí)例：

 這個(gè)比喻我想大家都容易理解，通過(guò)無(wú)限個(gè)三角形去逼近一個(gè)圓形，由數(shù)學(xué)的極限可知，只要三角形最夠多，誤差就會(huì)趨向于0。而實(shí)際模型就是通過(guò)很多微小的實(shí)體或平面單元去逼近的，那么實(shí)際模型可以用無(wú)限個(gè)單元去逼近嗎，顯然是不可能的（單元?jiǎng)澐执笮〉倪x擇會(huì)在后續(xù)詳細(xì)講解）。離散化以后，單元間是通過(guò)節(jié)點(diǎn)相連接點(diǎn)，這個(gè)連接節(jié)點(diǎn)是非常重要的，因?yàn)椋?

 在計(jì)算機(jī)求解時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都是輸入/輸出源

 加載力會(huì)在相互連接的節(jié)點(diǎn)間傳遞

 如下圖，每個(gè)單元都由相應(yīng)的控制方程所詮釋，而節(jié)點(diǎn)是溝通這些方程的媒介，有了節(jié)點(diǎn)，就能構(gòu)造龐大的模型

 下面說(shuō)說(shuō)一般的FEA分析流程如下：

 舉個(gè)例子：

 有限元分析的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界中的物理模型，當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)實(shí)際的對(duì)象時(shí)，我們首先要做的是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，比如上面推車的例子，我們要先分析出模型的受力，從物理系統(tǒng)到數(shù)學(xué)模型的理想化是第一步，我們要做到：

 理解物理系統(tǒng)的力學(xué)形式

 使用理論物理的方法建立數(shù)學(xué)關(guān)系

 理解數(shù)學(xué)模型背后的隱含假設(shè)

 獲得分析所需的邊界條件（如約束和加載力）

 這里我們最需要的就是邊界條件，有了邊界條件我們才能在后續(xù)施加正確的條件來(lái)求解。

 有了模型，那么我們就該離散化了，也就是劃分網(wǎng)格了，那么我們就直接劃分網(wǎng)格嗎，這是初學(xué)者容易犯的錯(cuò)誤，拿到一個(gè)模型就開始劃分網(wǎng)格，而且我猜幾乎都是3D四面體網(wǎng)格。

 我得告訴大家，有限元分析最費(fèi)時(shí)的部分就是劃分網(wǎng)格，網(wǎng)格劃分好了，后面求解就是分分鐘的事情，大不了就是等計(jì)算機(jī)算完。為了獲得可靠的結(jié)果又節(jié)約求解時(shí)間，復(fù)雜的模型劃分甚至能耗去幾小時(shí)，幾天或者幾周的時(shí)間。

 一般來(lái)說(shuō)，3D六面體網(wǎng)格會(huì)比3D四面體來(lái)得精確，3D四面體網(wǎng)格是非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格（和節(jié)點(diǎn)相連的網(wǎng)格類型不相同，比如一個(gè)四面體和六面體共用了同一個(gè)節(jié)點(diǎn)），3D六面體網(wǎng)格是結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格（和節(jié)點(diǎn)相連的網(wǎng)格類型相同）。

 非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格最大的特點(diǎn)是能劃分任意復(fù)雜的模型，而且時(shí)間快，但網(wǎng)格比結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格多幾倍，求解時(shí)間會(huì)很慢，而且結(jié)果的收斂性沒(méi)有結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格好。如下圖：

 如果網(wǎng)格劃分不好，結(jié)果會(huì)大相徑庭。所以面對(duì)一個(gè)模型我們要綜合考慮各種因素來(lái)選擇劃分的網(wǎng)格類型，況且除了3D單元以外，還有1D和2D單元，不同的場(chǎng)合選擇也是不一樣的。

 其實(shí)大多數(shù)情況下我們會(huì)采用3D四面體網(wǎng)格，但不是所有樣子的3D四面體網(wǎng)格都是可行的，我們需要檢查其各種參數(shù)，比如長(zhǎng)寬比，扭曲系數(shù)，雅可比因子等等，只有通過(guò)一定的參數(shù)檢查，我們才能保證結(jié)果的準(zhǔn)確。

 另外在劃分網(wǎng)格以前，我們還要對(duì)模型進(jìn)行處理，也稱為模型理想化，既要把對(duì)分析結(jié)果沒(méi)什么影響的結(jié)構(gòu)給去掉，比如細(xì)小孔和其它細(xì)微結(jié)構(gòu)，還有就是有問(wèn)題的地方比如破面等要修復(fù)。

 為什么這樣做呢，在FEA分析領(lǐng)域有這樣一句話：ThedetailofmodelisadreamofCADdesigner，butanightmareofCAEer（模型的細(xì)節(jié)是CAD設(shè)計(jì)人員的夢(mèng)想，卻是CAE仿真人員的惡夢(mèng)）。

 可見，如果一個(gè)結(jié)構(gòu)太過(guò)于細(xì)微，那么網(wǎng)格劃分是很難成功的，所以我們要先理想化地去除，因?yàn)檫@些細(xì)節(jié)對(duì)結(jié)果是沒(méi)有多大影響的。

 網(wǎng)格劃分的好，邊界條件也有了，那么后面的求解和后處理也就變得很簡(jiǎn)單了。

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