【技術(shù)分享】有限元法數(shù)學(xué)原理的簡(jiǎn)單實(shí)例
在數(shù)學(xué)層面說(shuō)明有限元法的數(shù)學(xué)原理并不是一件容易的事情，因?yàn)楫?dāng)涉及到二維或者三維維度時(shí)，一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題都需要結(jié)合很多原理和公式來(lái)演算。為了讓大家對(duì)有限元法的數(shù)學(xué)原理有個(gè)簡(jiǎn)單的認(rèn)識(shí)和了解，今天有限元科技小編給大家介紹一個(gè)通俗易懂的例子來(lái)說(shuō)明有限元法的(FEM)的數(shù)學(xué)思想，希望對(duì)大家有所啟發(fā)。
深圳市有限元科技有限公司是一家有十年有限元分析項(xiàng)目經(jīng)驗(yàn)的高科技企業(yè)，公司代理國(guó)外多款著名有限元軟件，并提供軟件的銷售與培訓(xùn)業(yè)務(wù)，另研發(fā)出多款行業(yè)有限元通用軟件，并秉承以最高質(zhì)量的產(chǎn)品和最高質(zhì)量的服務(wù)滿足客戶的各種需求的服務(wù)理念，致力于為客戶提供一站式有限元整體解決方案，目前已為全國(guó)超過(guò)500家企業(yè)提供有限元分析服務(wù)。如需購(gòu)買有限元軟件或咨詢服務(wù)請(qǐng)聯(lián)系在線客服，QQ：2039363860/4006046636。
如下圖所示，一個(gè)圓截面桿件一端固定，另一端施加拉力P，計(jì)算桿件的變形以及受到的應(yīng)力。
模型是一個(gè)簡(jiǎn)單的桿件，可以簡(jiǎn)化為1D單元，1D單元有不同類型，本例設(shè)定為桁架單元(trusselement)，只能承受軸向力。如下圖所示，為了方便計(jì)算，我們把桿件劃分為2個(gè)單元和3個(gè)節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)a，b，c）。
其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)都受到相應(yīng)的外力（由外部載荷P引起）和內(nèi)力l（由內(nèi)部應(yīng)力引起）。當(dāng)模型處于靜力學(xué)平衡時(shí)(staticequilibrium)，節(jié)點(diǎn)力（作用于節(jié)點(diǎn)的內(nèi)力和外力的合力）必須等于0，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的受力平衡如下圖所示：
假設(shè)桿件變形過(guò)程中伸長(zhǎng)量很小，對(duì)于單元1(element1)的應(yīng)變有：
其中和分別為節(jié)點(diǎn)a和b的位移(displacement)，L為單元1(element1)的長(zhǎng)度。假設(shè)材料為彈性材料，楊氏模量為E(Young‘sModulus)，則由材料力學(xué)可得單元1的應(yīng)力：
作用于節(jié)點(diǎn)a的軸向力等于應(yīng)力乘以橫截面積（cross-sectionalarea），所以可以得到內(nèi)力、材料屬性以及位移的關(guān)系如下式：
由力學(xué)平衡可得：
即：
同樣的方法，運(yùn)用力學(xué)平衡和材料力學(xué)公式可以得到節(jié)點(diǎn)b的平衡式如下：
節(jié)點(diǎn)c的平衡式如下：
將節(jié)點(diǎn)a，b，c的平衡式寫(xiě)成矩陣形式，得：
這樣，我們就得到了桿件的平衡方程，由于節(jié)點(diǎn)a固定，所以位移定于0，又聯(lián)立Pb=Pc=P，這樣我們就可以得到節(jié)點(diǎn)b和節(jié)點(diǎn)c的位移以及Pa，算出位移之后，我們就可以返回去算出應(yīng)力值。
其中EA/L就是我們常說(shuō)的剛度，當(dāng)然在很多時(shí)候，每個(gè)單元的剛度并不一樣，如本例，如果兩個(gè)單元的長(zhǎng)度不一樣，則剛度也不一樣。當(dāng)剛度不一樣時(shí)，設(shè)單元1和單元2的剛度分別為K1和K2，此時(shí)平衡方程有：
上面這個(gè)例子簡(jiǎn)單的說(shuō)明了有限元法的數(shù)學(xué)原理，有限元法的核心思想就是離散化分割為有限個(gè)單元，將無(wú)窮轉(zhuǎn)化為有限。實(shí)際問(wèn)題的計(jì)算并沒(méi)有這么簡(jiǎn)單，但思想是類似的，對(duì)力學(xué)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，總可以列出形如下所示的外力和內(nèi)力平衡的方程：
本文出自深圳有限元科技有限公司官網(wǎng)：7zhuan.cn 轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明
