有限元仿真分析方法與力學(xué)的研究及未來的一些可能方向

 有限元方法（FEA）即有限單元法，它是一種數(shù)值分析(計算數(shù)學(xué))工具，但不是唯一的數(shù)值分析工具。在工程領(lǐng)域還有其它的數(shù)值方法，如：有限差分法、邊界元方法、有限體積法。但由于FEA具有多功能性和高數(shù)值性能，使它占據(jù)了絕大多數(shù)的工程分析市場，其它的因此而被歸入小規(guī)模應(yīng)用。

 有限單元法已成為一種強有力的數(shù)值解法來解決工程中遇到的大量問題，其應(yīng)用范圍從固體到流體，從靜力到動力，從力學(xué)問題到非力學(xué)問題。事實上，有限單元法已經(jīng)成為在已知邊界條件和初始條件下求解偏微分方程組的一般數(shù)值方法。

有限單元法在工程上的應(yīng)用屬于計算力學(xué)的范疇，而計算力學(xué)是根據(jù)力學(xué)中的理論，利用現(xiàn)代電子計算機和各種數(shù)值方法，解決力學(xué)中的實際問題的一門新興學(xué)科。它橫貫力學(xué)的各個分支，不斷擴(kuò)大各個領(lǐng)域中力學(xué)的研究和應(yīng)用范圍，同時也在逐漸發(fā)展自己的理論和方法。

 有限元方法從大的方面說，有如下的研究內(nèi)容：

 物理（Physics）、

 分析（Analysis）、

 幾何（Geometry）、

 數(shù)值方法（Numericalmethod）、

 拓?fù)洌═opology）、

 可視化（Visualization）、

 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（Datastructure）、

 AI（AritificialIntelligence）、

 優(yōu)化（Optimization）。

 物理是指研究問題的背景，當(dāng)年馮康教授、錢偉長教授、胡海昌教授等正是從許多物理背景模型特別是固體力學(xué)出發(fā)成為一代有限元法大師的，有限元方法應(yīng)用的領(lǐng)域非常廣闊，在固體力學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)、流體力學(xué)、傳熱學(xué)、電磁場、滲流力學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著很大的作用，在數(shù)學(xué)方面，像偏微分方程等也有很大的用途。

 分析是指有限元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)為變分原理，它將物理模型的連續(xù)方程、守恒方程等轉(zhuǎn)化為變分形式，變分問題和原來的偏微分方程是等價的，變分原理降低了原來偏微分方程解的連續(xù)性要求。變分的不同構(gòu)造形式衍生出了多種多樣的有限元的分枝。

 有限元是需要計算具體實現(xiàn)的，7zhuan.cn實現(xiàn)時首先要劃分計算網(wǎng)格，網(wǎng)格從本質(zhì)上是幾何問題，單元的幾何形態(tài)對精度有影響，因此不可能隨便劃分單元，像邊界元法只需要在邊界上劃分，它的基礎(chǔ)是格林方程，無網(wǎng)格方法只需要在域內(nèi)部點即可。任何物理場的存在都能視為一種幾何結(jié)構(gòu)，單元的集合構(gòu)成了物理場全部的幾何信息，涉及到幾何問題，自然可以使用幾何方法，比如邊界表示法等，劃分是計算幾何的研究內(nèi)容，目前已經(jīng)完全做到了幾何實體的表示到有限元網(wǎng)格數(shù)據(jù)的自動轉(zhuǎn)換。

 有限元方法在具體計算時最消耗時間，可見數(shù)值計算在有限元方法中發(fā)揮著可以省工省時的作用，數(shù)值計算包括數(shù)值積分、線性代數(shù)方程求解、特征值求解三方面。后兩個是純算法問題，算法的構(gòu)造直接影響著計算的效率，經(jīng)過幾十年的研究，誕生了很多高效、穩(wěn)定的算法，任何好的算法都是計算時間與數(shù)據(jù)貯存空間的某種“平衡”，數(shù)據(jù)貯存空間分為內(nèi)存與外存，省時間的算法占空間，省空間的算法費時間，目前的算法很少有人考慮空間問題；有些算法還考慮了硬件環(huán)境，如并行算法，一個值得注意的方向是所謂“Cluster”計算機，它將多種性能的計算機按照一定協(xié)議連接，可得到巨大的計算性能，形成所謂的“計算力”，而軟件獲取費用幾乎是免費的。實際上用戶可以想象，完全可以利用因特網(wǎng)或局域網(wǎng)上的空閑資源，為密集數(shù)值計算服務(wù)，比如問題有一億個自由度，不同用戶可以計算出方程中一個小塊的某種特性，為解方程所用。目前這在解方程領(lǐng)域還是處女地，但在密碼分解、素數(shù)分解、素數(shù)發(fā)現(xiàn)等領(lǐng)域已有實現(xiàn)?！熬W(wǎng)格”系統(tǒng)是一個新的概念，有限元在其上的應(yīng)用是一個發(fā)展方向?；谕耆惒降乃神詈舷到y(tǒng)的算法是絕對是未來幾十年的發(fā)展方向。

 以上四個方面是基本的，下面幾點是一些技術(shù)因素：

 在有限元法中，節(jié)點和單元都是需要互相連接的，這可以視為一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，節(jié)點的位置可以變化，拓?fù)溥B接不變，依照這種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)甚至能構(gòu)造出不同物理形狀的物體，拓?fù)溥B接在結(jié)構(gòu)優(yōu)化時也非常關(guān)鍵。

 無論是物理場還是幾何場，人們總希望以某種形象的方式表示它，這樣就能研究場的細(xì)節(jié)，這就是可視化的內(nèi)容。目前，可視化幾乎成了有限元軟件的基本要求，從前處理到后處理，用戶對可視化提出來非常高的要求，前處理要求和CAD軟件無縫集成，后處理則要求和一般的可視化軟件集成，這樣能大幅度降低開發(fā)成本。

 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是研究數(shù)據(jù)貯存和檢索的科學(xué)，在有限元程序中數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可以說是系統(tǒng)分析的內(nèi)容，系統(tǒng)分析一般用結(jié)構(gòu)化方法或OOP方法，這時要確定模塊的功能，甚至要考慮硬件的能力，比如貯存能力，用何種方法貯存“總體剛度”矩陣，像這方面的內(nèi)容有帶寬壓縮貯存、稀疏矩陣貯存等，這方面的技術(shù)非常成熟，依靠專業(yè)的數(shù)據(jù)庫服務(wù)器是最佳選擇。

 AI指人工智能，人工智能是研究邏輯及其推理的科學(xué)，有限元法和它結(jié)合可以解決求解策略、人工干涉程序計算方向的問題，目前有關(guān)人工智能的應(yīng)用還不多見，商用軟件也未考慮此方面的因素，這個領(lǐng)域是廣闊的。

 優(yōu)化問題在有限元中有這幾個方面的需求，如邊界形狀優(yōu)化、最小質(zhì)量、等強度、等應(yīng)變、動力學(xué)參數(shù)優(yōu)化等，優(yōu)化問題的特點是變量多（幾十/數(shù)百），許多實際的優(yōu)化算法這樣多的變量中穩(wěn)健性還有待提高。優(yōu)化問題要必須考慮K*U=P、K(U)*U=P(U)、K*U=alpha*M*U方程的靈敏度分析，這是個公認(rèn)的難點問題，精確計算往往因為計算量太大而用差分法來替代。

 未來的一些可能方向：

 （1）辛問題：將問題轉(zhuǎn)化為辛幾何問題，建立基于辛幾何場的有限元方法，辛幾何是面積守恒的，可望在大尺度時間、大空間尺度等應(yīng)用領(lǐng)域（如天體、粒子的大范圍輸運等）發(fā)揮作用；

 （2）斯塔法問題：建立完整的全空間、全時間尺度的有限元方法，以解決兩相乃至多相的自由邊界問題，如軋鋼、南極的冰線移動預(yù)測等；

 （3）發(fā)展方程：如孤波問題，孤波是強非線性問題，如果能使用有限元方法比將開闊一個新的領(lǐng)域，目前已有研究，但是高維問題進(jìn)展緩慢，這類問題目前在光通信領(lǐng)域有迫切應(yīng)用；

 （4）計算材料學(xué)問題：從原子、分子、7zhuan.cn團(tuán)簇等的原始物理方程，研究介質(zhì)的微觀或者宏觀性能，是計算材料學(xué)的目標(biāo)，但是微觀粒子的互相作用模型大都是強非線性，弱解方程的建立，以及如何與宏觀的物理量，如應(yīng)力等建立有效聯(lián)系還是很大的問題；計算材料學(xué)所涉及的海量計算一般用戶難以承受。

 （5）湍流問題：目前已經(jīng)有一些較好的方法，如有限體積法等，仍需深入，目前湍流問題實際上根本不是算法問題，而是介質(zhì)的物理模型問題；人們對湍流的認(rèn)識可能還受到目前科學(xué)技術(shù)水平的限制。

 （6）相變問題、多物理場耦合問題：物質(zhì)的相變或多場作用產(chǎn)生了特定的行為，相變意味著從一種穩(wěn)態(tài)躍遷或者變化到另一種穩(wěn)態(tài)，描述這種強烈的非線性行為，有限元方法還可能應(yīng)用嗎？在何種尺度上應(yīng)用？多物理場耦合問題目前熱點很多，關(guān)鍵是不同場的作用機理，方程的解耦等研究，單從方法上，原創(chuàng)點不多。

 （7）分子力學(xué)、納米力學(xué)問題：在分子、納米的尺度上，介質(zhì)或材料展現(xiàn)了迥異的行為，這是目前的研究熱點，目前這類問題還主要是物理問題，有限單元方法只是一種算法、思想；如果科學(xué)家們研究清楚了分子之間的互相作用、納米團(tuán)聚間的互相作用，才可能到有限元發(fā)揮作用的時候。

 （8）與小波分析結(jié)合：“小波”被稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，對于時關(guān)系統(tǒng)，時間與頻率是同一系統(tǒng)的兩個不同方面，縮短時間與就能提高頻率的分辨率，這種思想可說是“奇妙的”，有些類似有限元中的譜法；受小波法啟示，如果在有限元中能夠找到一對分辨率彼此消長的物理量，有可能大大提高有限元的應(yīng)用效率，在有限元中單元的大小與求解精度就是這樣一對物理量，還有其它的嗎？

 （9）經(jīng)濟(jì)、社會、管理領(lǐng)域：像目前固體力學(xué)中的多尺度方法一樣，在經(jīng)濟(jì)、社會、管理應(yīng)用領(lǐng)域微觀行為及其發(fā)展研究非常熱，我們想，在一個自封閉的系統(tǒng)內(nèi)，只要存在兩種微觀團(tuán)體的互相作用，互相作用的關(guān)系是可以量化的，這種作用能夠使得“系統(tǒng)”穩(wěn)定，耗散最小，能量最低，“系統(tǒng)”演化可以量化，有限元方法就一定能夠發(fā)生效用。當(dāng)然這并不排斥其它的解決方法。

 在研究有限元方法時，理解解析與數(shù)值計算的關(guān)系、理解逼近的思想、理解抽象與具體的相互關(guān)系，會發(fā)現(xiàn)此法是一個方法學(xué)集大成者，它不但將多種概念匯聚一身，又衍生出多種多樣的研究內(nèi)容，無怪乎科學(xué)家們將它作為20世紀(jì)應(yīng)力力學(xué)的最偉大成就之一。

 有限元法不是萬能的，關(guān)鍵是其思想，它完美的體現(xiàn)了哲學(xué)中局部與整體的關(guān)系，要解決整體問題，必須先研究局部問題，局部問題研究清楚后，還要研究局部之間作用的關(guān)系，7zhuan.cn然后各個局部在一個統(tǒng)一的坐標(biāo)尺度下綜合，還要考慮整個系統(tǒng)和外部的關(guān)系，最后得到全局的特征。這種思想是自然的，符合人類的思維規(guī)律，與企圖用公理化或者純解析化的思想來解決問題不同。人類最關(guān)心全局的東西，比如宇宙，及它的過去、現(xiàn)在和將來，但要窮極完全時間尺度、完全空間尺度的全局的性能只是人類的“夢想”，并不符合認(rèn)識論的一般規(guī)律，有些時候完全的“窮極”可能會導(dǎo)致“悲觀化”。

 有限元法不能解決全部的問題，但這種局部與整體的思想加上計算機技術(shù)將這種工具發(fā)揮的淋漓盡致。早在有限元法創(chuàng)立以前，科學(xué)家們就已經(jīng)有了思想的“雛形”，比如：瑞利-里茲、伽列金等，但因計算工具落后，難能將這種思想發(fā)揚光大，當(dāng)時他們根本無法看到用這種方法解決大范圍問題的希望，只能在較小的范圍內(nèi)應(yīng)用，但確也取得了巨大的成就。

綜上，有限元方法是我們認(rèn)識世界的科學(xué)工具。

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