CAE有限元仿真技術(shù)解決材料力學(xué)的困惑

 計(jì)算機(jī)輔助工程（ComputerAidedEngineering，CAE）是以專業(yè)計(jì)算機(jī)軟件為工具，對(duì)工程中復(fù)雜產(chǎn)品的物理特性（如結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，剛度，穩(wěn)定性，動(dòng)力響應(yīng)，三維多體接觸，彈塑性，熱傳導(dǎo)，電磁場(chǎng)，流場(chǎng)的速度和壓力等）進(jìn)行分析計(jì)算及優(yōu)化設(shè)計(jì)的一種近似數(shù)值分析方法。

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 近些年以來(lái)，CAE仿真技術(shù)在機(jī)械，汽車(chē)，航空，航天，電子產(chǎn)品，土木及材料力學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

 要了解CAE仿真技術(shù)，我們可以從材料力學(xué)的局限性談起。材料力學(xué)主要以單根桿件為基礎(chǔ)，研究其強(qiáng)度，剛度，穩(wěn)定性問(wèn)題。對(duì)于理想桿件發(fā)生的四種基本變形和組合變形，可以使用材料力學(xué)的研究成果來(lái)對(duì)其進(jìn)行設(shè)計(jì)和校核。但實(shí)際工程結(jié)構(gòu)是千變?nèi)f化的，對(duì)于一個(gè)實(shí)際桿件結(jié)構(gòu)，用材料力學(xué)的計(jì)算方法來(lái)計(jì)算，會(huì)遇到很多挑戰(zhàn)，下面舉例說(shuō)明。

 如下圖所示的懸臂梁，在中間施加一個(gè)豎直向下的集中力P，要考察該梁的強(qiáng)度問(wèn)題。使用材料力學(xué)的方法解決該問(wèn)題是容易的?？梢允紫壤L制出內(nèi)力圖，然后得到危險(xiǎn)截面，接著在危險(xiǎn)截面上找到危險(xiǎn)點(diǎn)，根據(jù)該危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力不要超過(guò)允許應(yīng)力，就可以進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)。

 然而實(shí)際的結(jié)構(gòu)總是比上圖要復(fù)雜一些。在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，為了加強(qiáng)剛性，通常會(huì)增加支撐，如下圖。直觀的看，此時(shí)結(jié)構(gòu)的剛性顯然會(huì)提高，但是它給求解帶來(lái)了麻煩。因?yàn)榇肆鹤筮吺枪潭ǘ耍?個(gè)約束力的未知數(shù)，右邊有1個(gè)約束力的未知數(shù)，這樣一共是4個(gè)約束力的未知數(shù)，但是根據(jù)理論力學(xué)，該梁只能列出3個(gè)獨(dú)立的平衡方程，所以是不能求出所有的未知反力的。

 不能求出所有的未知反力，這導(dǎo)致無(wú)法求內(nèi)力。因?yàn)閮?nèi)力是用截面法，對(duì)某一段列平衡方程得到的。外力不知道，內(nèi)力就沒(méi)有辦法得到。不能得到內(nèi)力，則不知道危險(xiǎn)截面，從而不知道危險(xiǎn)應(yīng)力是多少，進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算就成為空中樓閣。

上述問(wèn)題在材料力學(xué)里面稱為超靜定問(wèn)題。為了解決上述困境，材料力學(xué)使用了所謂的力法。力法的基本思路如下。

首先，把右邊的滾動(dòng)支座用一個(gè)向上的集中力F來(lái)取代如下圖。因?yàn)闈L動(dòng)支座本來(lái)就是提供一個(gè)支持力的作用，所以這種取代并無(wú)問(wèn)題。

 一旦取代以后，按照疊加法，該圖可以分解為下面兩種情況的疊加。

 在第一種情況下，只有集中力P作用，在第二種情況下，只有集中力F作用。顯然，我們可以使用材料力學(xué)求變形的方式，由P求出Y1，由F求出Y2。7zhuan.cn這就是說(shuō)，Y1是P的函數(shù)，而Y2是F的函數(shù)。這里要注意，Y1與Y2是相等的。之所以相等，是因?yàn)锽點(diǎn)本來(lái)就是一個(gè)滾動(dòng)支座，它是不會(huì)有豎直方向的位移的。這樣，根據(jù)Y1=Y2，就可以得到F與P的一個(gè)關(guān)系式。因?yàn)镻是已知量，所以就可以求出F的大小。

 這樣，在得到F的大小后，再對(duì)原問(wèn)題列出3個(gè)靜力學(xué)平衡方程，共4個(gè)方程，就可以解出4個(gè)未知反力，此時(shí)，所有的外力都已知，從而可以求內(nèi)力，求應(yīng)力，進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算了。上述方法稱為力法。

 力法看似很容易的解決了超靜定問(wèn)題，其實(shí)不然?？疾煜聢D所示的問(wèn)題，此時(shí)B端是固定端，這樣左邊3個(gè)未知反力，右邊3個(gè)未知反力，共有6個(gè)未知反力，所以需要補(bǔ)充3個(gè)方程，用上述方法仍舊可以得到這3個(gè)方程。但是實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)該問(wèn)題。

 考察下敘鋼架，整個(gè)結(jié)構(gòu)都是焊接而成，在A端B端簡(jiǎn)支，而在鋼架上某些節(jié)點(diǎn)處施加了向下的集中力，現(xiàn)在要求該梁的強(qiáng)度是否足夠，也要計(jì)算最下面水平梁中間點(diǎn)的位移。

 由于該鋼架是一個(gè)構(gòu)件，所以只能列出3個(gè)獨(dú)立的平衡方程。但是其內(nèi)部情況卻很復(fù)雜，很難知道哪里最危險(xiǎn)，即便知道了，也很難計(jì)算出其內(nèi)力是多少。對(duì)于材料力學(xué)而已，這簡(jiǎn)直成為一個(gè)不可解的問(wèn)題。

 再如下圖一個(gè)傳動(dòng)箱的支架，該支架是由一些方鋼焊接而成，要對(duì)該支架進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，材料力學(xué)也是無(wú)能為力的。

 以上兩個(gè)問(wèn)題的共性就在于，7zhuan.cn他們是超靜定問(wèn)題，而且超靜定次數(shù)很高，就是說(shuō)，要補(bǔ)充一大堆方程來(lái)求解外力。這使得上述所謂的力法在實(shí)踐中很難使用。

 對(duì)于上述問(wèn)題，幾乎只有CAE這種解決渠道。

 從超靜定的角度說(shuō)明了材料力學(xué)的局限性，這里進(jìn)一步說(shuō)明材料力學(xué)對(duì)于其最擅長(zhǎng)的單根桿件進(jìn)行強(qiáng)度分析時(shí)的局限性。

考察如圖所示的一根拉桿，在其上鉆有一個(gè)孔。桿件兩端受到的拉力P=80KN，桿長(zhǎng)1米，截面為矩形，寬80mm，厚10mm，孔的直徑為16mm，桿的許用拉應(yīng)力為160MPa。試校核該拉桿的強(qiáng)度。

 使用材料力學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)分析上述問(wèn)題。這是一個(gè)拉伸變形問(wèn)題，每個(gè)截面上內(nèi)力都是P=80KN，而通過(guò)孔中心的橫截面面積最小，從而該截面上應(yīng)力最大，其正應(yīng)力是

 因此強(qiáng)度是足夠的。

 實(shí)際上，在C截面上存在應(yīng)力集中，此截面上的應(yīng)力并非均勻分布。使用有限元法（一種數(shù)值計(jì)算方法，該法是CAE的核心）計(jì)算的結(jié)果如下：

 可以看到，中間截面的確最危險(xiǎn)，其真實(shí)應(yīng)力是305MPa，它是材料力學(xué)計(jì)算應(yīng)力的2.44倍。此時(shí)強(qiáng)度是不合格的。

 顯然，在這種情況下，材料力學(xué)的計(jì)算結(jié)果完全不能夠使用。材料力學(xué)之所以會(huì)出現(xiàn)這種問(wèn)題，在于它在計(jì)算橫截面應(yīng)力的時(shí)候，假設(shè)該界面的應(yīng)力是均勻分布的，7zhuan.cn而實(shí)際上并非如此，該截面在靠近孔的地方應(yīng)力最大，在遠(yuǎn)離孔的地方應(yīng)力越來(lái)越小。

 軸是機(jī)械里面最常用的零件，為了連接其他零件，軸上面一般都有鍵槽，孔，臺(tái)階等結(jié)構(gòu)。這些地方都存在著應(yīng)力集中，直接使用材料力學(xué)的公式都會(huì)帶來(lái)問(wèn)題。

 再如下面這根軸，中間是兩個(gè)深溝球軸承進(jìn)行支撐，而在最左邊通過(guò)一個(gè)鍵槽連接一根連桿，在左右兩邊都與一塊異型槽鋼架連接，從而在軸上銑出兩個(gè)平面并鉆孔，其受力可以用如圖所示的分布力系來(lái)表達(dá)，現(xiàn)在要對(duì)該軸進(jìn)行強(qiáng)度校核。

直觀地看，由于有兩個(gè)深溝球軸承支撐，該軸屬于外伸梁形式。由于鍵槽受力并非在對(duì)稱面上，所以這是一個(gè)彎扭組合問(wèn)題。在銑削的平面處，存在應(yīng)力集中，使用材料力學(xué)對(duì)該梁分析會(huì)遇到很大的困難。

經(jīng)過(guò)精確分析所得到的該軸的應(yīng)力云圖如下：

 該云圖用顏色顯示了在軸上的應(yīng)力分布情況。越近紅色應(yīng)力越大，越近藍(lán)色應(yīng)力越小。最大的應(yīng)力出現(xiàn)在左邊孔的下面如下圖

 這種結(jié)果，如果不借助CAE，很難判斷出最大應(yīng)力在哪里。由于孔洞的出現(xiàn)，一些應(yīng)力集中處成為危險(xiǎn)截面，而這些地方的最大應(yīng)力往往要超出材料力學(xué)計(jì)算的幾倍，這使得材料力學(xué)在面對(duì)這些問(wèn)題時(shí)顯得有心無(wú)力。合理利用CAE仿真技術(shù)，不僅能讓我們加快產(chǎn)品開(kāi)發(fā)周期，更能處于行業(yè)領(lǐng)先水平。

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