有限元仿真分析方法的基本思想及變分原理和加權余量法

 一、有限元方法的基礎是變分原理和加權余量法

 有限元法的基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數(shù)的節(jié)點值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達式，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。

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 在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個單元基函數(shù)組成的，則整個計算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。

 常見的有限元計算方法是由變分法和加權余量法發(fā)展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據(jù)所采用的權函數(shù)和插值函數(shù)的不同，有限元方法也分為多種計算格式。從權函數(shù)的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網(wǎng)格的形狀來劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形網(wǎng)格，從插值函數(shù)的精度來劃分，又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合同樣構(gòu)成不同的有限元計算格式。

 對于權函數(shù)，伽遼金(Galerkin)法是將權函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù)；最小二乘法是令權函數(shù)等于余量本身，而內(nèi)積的極小值則為對代求系數(shù)的平方誤差最?。辉谂渲梅ㄖ?，先在計算域內(nèi)選取N個配置點。令近似解在選定的N個配置點上嚴格滿足微分方程，即在配置點上令方程余量為0。插值函數(shù)一般由不同次冪的多項式組成，但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積表示，但最常用的多項式插值函數(shù)。

 有限元插值函數(shù)分為兩大類，一類只要求插值多項式本身在插值點取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項式插值；另一種不僅要求插值多項式本身，還要求它的導數(shù)值在插值點取已知值，稱為哈密特(Hermite)多項式插值。單元坐標有笛卡爾直角坐標系和無因次自然坐標，有對稱和不對稱等。

 常采用的無因次坐標是一種局部坐標系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應用的最早，近來四邊形等參元的應用也越來越廣。對于二維三角形和四邊形電源單元，常采用的插值函數(shù)為有Lagrange插值直角坐標系中的線性插值函數(shù)及二階或更高階插值函數(shù)、面積坐標系中的線性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。

 對于有限元方法，其基本思路和步驟可歸納為：

 （1）建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發(fā)點。

 （2）區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實際問題的物理特點，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元劃分是采用有限元方法的前期準備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節(jié)點進行編號和確定相互之間的關系之外，還要表示節(jié)點的位置坐標，同時還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點序號和相應的邊界值。

 （3）確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點數(shù)目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時可遵循一定的法則。

 （4）單元分析：將各個單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達式進行逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對單元區(qū)域進行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。

 （5）總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形成總體有限元方程。

 （6）邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件，一般在積分表達式中可自動得到滿足。對于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。

 （7）解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當?shù)臄?shù)值計算方法求解，可求得各節(jié)點的函數(shù)值

 二、Comsol軟件采用的是加權余值法

 有限元法的最主要的一個特點就是把要求的方程偏微分形式轉(zhuǎn)化成積分形式，而這一過程主要通過兩個途徑：加權余值法和變分法。而等效積分弱形式是針對加權余值法來說的。把強形式轉(zhuǎn)化為弱形式，是前期有限元的核心技術；隨著技術的進步和發(fā)展，才慢慢將變分法引入到有限元，從一定程度上說，變分法比加權余值更加先進合理。

 其實現(xiàn)在的變分法還在逐漸進步和發(fā)展，當然也有一些爭議，比如對我國胡海昌院士提出的廣義變分原理獨立變量數(shù)目的爭議，但總體來說，變分法是優(yōu)越于加權余值法的。這也是為什么大部分商業(yè)cae軟件采用變分法的原因（COMSOL，F(xiàn)EPG除外）！

 將微分方程轉(zhuǎn)化為弱形式，這個弱并不是弱化對方程解的結(jié)果，而是弱化對解方程得要求，具體點是弱化待求變量的連續(xù)性，當然這種弱化是以提高權函數(shù)的連續(xù)性為代價的。通過引入權函數(shù)或試函數(shù)，將微分方程轉(zhuǎn)化為等效積分方程，要使這一積分形式有解或者說存在，就必須對權函數(shù)和待求變量加以限制，將等效積分形式分步積分，得到的形式就稱為等效積分弱形式。因為分步積分后，算子導數(shù)階次降低，對待求變量的連續(xù)性降低，這就起到了弱化作用，將近似解帶入微分方程會有余值，而這余值形式中又有我們前面引入的權函數(shù)，所以我們把這種余值的加權積分，稱為加權余值法，這一名稱應該就是這么來的。

 為了保證微分形式和積分形式是等效的，引入的權函數(shù)必須任意的，如果選權函數(shù)為待求變量解前面的形函數(shù)，那么這一形式就變成我們所說的伽遼金法（Galerkin法)，因此可以說，伽遼金法是眾多加權余值法中的一種，都是在近似試函數(shù)中選擇參數(shù)，得到近似解。而里茲法(Ritz)是基于變分原理的。有些人總不分變分和加權殘值法，其實這兩種方法是不同的，雖然有時候是等效的。

 個人最為推崇的有限元理論基礎是微分方程的“弱積分形式”，因為它的適用范圍更廣。前面大家說的，虛位移原理，最小勢能原理或者是哈密頓原理，變分原理。。。。都是限于力學問題的。其實這里的幾種方法都可以看做是力學變分原理的推導結(jié)果，說白了，分析力學上面都有這些內(nèi)容。

 對于非力學問題，我們很難采用上面的原理，說到變分呢，如果不能構(gòu)造相應的泛函，變分形式就難以獲得。反觀“等效積分弱形式”，可以包括所有的問題，由此，我們可以建立迦遼金形式的標準有限元和非標準有限元。

 加權余量求解偏微分方程步驟：

 （1）初步選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解；

 （2）結(jié)合問題的邊界條件對嘗試函數(shù)進行修正，以簡化求解；

 （3）寫出余數(shù)表達式；

 （4）寫出加權余數(shù)表達式（迦遼金方法選取加權函數(shù)）；

 （5）令權余數(shù)表達式在各嘗試函數(shù)下為0，得到代數(shù)方程組，解之得到待定系數(shù)，從而確定近似解。

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